LEYES DEL ALGEBRA BOOLEANA
Álgebra de Boole, rama de las matemáticas
con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es
útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos.
1. Ley de la identidad: Esta primera ley tiene que ver con la ley de la
identidad planteada por Parménides de Elea. Se enuncia diciendo que una
proposición es idéntica así misma, se implica así misma o se incluye así misma.
Esquemáticamente se formaliza:
a) p ® p º 1
b) p
«
p º
1
2. Ley de la Conmutación : En esta ley las variables cambian de ubicación, manteniendo su valor y
la conectiva no es modificada. Es imposible aplicar la ley de la conmutación al
implicador pues este presenta una relación de antecedente y consecuente; con
excepción de esta conectiva las demás conectivas son afectas a esta ley. Esquemáticamente se formaliza:
a) p Ù q º q Ù p
b) p Ú q º q Ú p
c) p Ú q º q Ú p
d) p « q º q « p
e) p ¯ q º q ¯ p
f) p / q º q / p
3. Ley de la asociación: En esta ley las variables pueden ser agrupadas de
acuerdo a la conveniencia de la operación a realizar. Las conectivas posibles
de asociar son: la conjunción, la disyunción y la biimplicación.
a) p Ù (q Ù r) º (p Ù q) Ù r
b) p Ú (q Ú r) º (p Ú r) Ú q
c) p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú r
d) p « (q « r) º (p « r) « q
4. Ley de Morgan (Ù) (Ú). Esta ley nos dice que si negamos una disyunción, esta
negación equivale a la conjunción de los dos miembros negados de la disyunción;
de igual manera la negación de una disyunción es lo mismo que la conjunción de
los miembros negados de la disyunción; en síntesis dirían lo siguiente:
no (p o q) es lo mismo que (no-p y no-q)
no (p y q) es lo mismo que (no-p o
no-q)
Formalmente se representa así:
a) -(p Ú q) º - p Ù -q
b) -(p Ù q) º -p Ú -q
En
síntesis esta ley es una multiplicación por menos que sólo es aplicable a la
conjunción, cuya negación es la disyunción incluyente, y a la disyunción
incluyente, cuya negación es la conjunción. También es importante tener en
cuenta que sólo con esta ley; nosotros podemos eliminar o colocar un negador
externo.
5. Ley de la distribución: En esta ley una variable (caso “a” y caso “b” ) se
distribuye junto con su conectiva con las variables que se encuentran dentro
del paréntesis y la conectiva que se encuentra dentro del paréntesis pasa a ser
la conectiva principal en el producto de la distribución. En el caso “c” son
dos pares que se distribuyen; escogemos el primer par para no distribuirlo , el
cual hemos subrayado, el segundo los distribuimos.
a) p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)
b) p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
c) (p Ù q) Ú (-p Ù q) º [(p Ù q) Ú -p] Ù [(p Ù q) Ú q]
6. Ley de la absorción: Para poder aplicar esta ley debe existir una variable
absorbente que es exactamente igual la que esta dentro y fuera del paréntesis
(caso “a” y caso “b”), luego observar
que las conectivas deben ser opuestas si la conectiva que se encuentra dentro
del paréntesis es una disyunción incluyente, la se encuentra fuera del
paréntesis debe de ser una conjunción, si esto se cumple entonces podemos
aplicar la ley de la absorción, la otra variable pasa a ser la variable
absorbida que puede ser cualquier variable (menos la variable absorbente)
afirmada o negada la cual desaparece y sólo queda la variable absorbente. En el
caso “c” realmente no es la absorción
propiamente dicha, sino que es un artificio que nos permite simplificar el
esquema rápidamente, aquí observamos que
la variable que debió ser la absorbente es diferente, una de ellas se encuentra
negada, en este caso eliminamos la variable que debió haber sido la absorbente
que se encuentra dentro del paréntesis junto con su conectiva; luego nos queda
la variable que se encuentra fuera del paréntesis y su conectiva y la otra
variable que en condiciones normales debió ser la absorbida.
Se
esquematiza:
a) p Ù (p Ú q) º p
b) p Ú (p Ù q) º p
c) p Ù (-p Ú q) º p Ù q
7. Ley de la doble negación: Esta ley que también es una ley de implicación; es la
ley de los signos del “menos por menos”, aquí la clave es contar el número de
negadores; si el número de negadores es par, luego estamos frente a una
afirmación. Y si el número de negadores es impar, luego estamos frente a una
negación.
Se esquematiza:
p º ~(~p)
8. Ley de la implicación material: Algunos le llaman definición del implicador, cosa que no es correcto,
pues todas las leyes presentes son definiciones, luego por la generalidad resulta
ser inexacto. En esta ley una implicación es definida hacia una disyuntiva,
para hacerlo negamos el antecedente, la implicación la cambiamos por un a
disyunción y el consecuente lo afirmamos, es decir lo dejamos tal como esta.
Pero como se trata de una equivalencia entonces podemos transformar una
disyunción incluyente en una implicación, siguiendo las mismas pautas.
Se esquematiza:
p ® q º -p Ú q
9. Ley de la contraposición o contrarrecíproca: En esta ley de la proposición “p” se desprende
“q” y de la negación de la proposición
“q” se desprende la negación de la proposición “p”. Digamos que en esta ley se
conmutan el antecedente por el consecuente pero a la vez invertimos sus
valores.
Esquemáticamente se formaliza:
p ® q º -q ® -p
10. Ley de la transposición: En esta ley el procedimiento es exactamente igual a la
contraposición, incluso incluye a la implicación, diremos que la ley de
contraposición es una ley especifica que sólo se aplica al implicador, en
cambio esta ley de la transposición es una ley general que aplica, además de la
implicación, al disyunción excluyente y a la biimplicación.
Se
esquematiza:
a) p Ú q º -q Ú -p
b) p « q º -q « -p
c) p ® q º -q ® -p
11. Definición de las funciones de Sheffer: En
el primer caso (a) es la definición de la negación conjunta o binegación; aquí
la conectiva se define como una
conjunción invirtiendo los valores de ambas variables. El segundo caso (b) es
similar, es la negación alterna o la incompatibilidad, aquí la conectiva se
define como una disyunción invirtiendo los valores de ambas variables.
Se esquematiza:
a) p ¯ q º -p Ù -q
b) p / q º -p Ú -q
12. Definición de la biimplicación: La biimplicación se puede definir de dos maneras. La
primera manera (a) es de dos implicaciones, de allí su nombre, unidas con una
conjunción, en donde “q” se desprende de “p” y “p” se desprende de “q”. La
segunda manera (b) es de dos conjunciones
unidas con una disyunción incluyente, en donde en una de las conjunciones ambas
variables se encuentran negadas.
Se esquematiza:
p º q
a) (p ® q) Ù (q ® p)
b) (p Ù q) Ú (-p Ù -q)
13. Definición de la disyunción excluyente: La disyunción excluyente se puede definir de dos
maneras. La primera manera (a) es de dos disyunciones incluyentes, unidas con
una conjunción, pero en una de las disyunciones incluyentes ambas variables se
encuentran negadas. La segunda manera (b)
es de dos conjunciones unidas con una disyunción incluyente, en donde
ambas conjunciones una variable se encuentra negada de manera alterna, es decir
si una de las conjunciones se encuentra negada la variable “p” en la otra
conjunción debe de estar negada la variable “q”.
Se esquematiza:
p Ú q
a) (p Ú q) Ù (-p Ú -q)
b) (p Ù -q) Ú (-p Ù q)
14. Leyes del Complemento: En esta ley si una
variable se une (disyunción incluyente) a su complemento (su contrario)
esto nos da una tautología (1). Algo similar ocurre si una variable se
intersecta (conjunción) con su complemento (su contrario) esto nos da una contradicción (0).
Se esquematiza:
a) p Ú-p º 1
b)
p Ù -p
º
0
15. Leyes de
Identidad: Para entender esta
ley utilizaremos, al igual que la anterior, la analogía entre la teoría de
conjuntos y el álgebra booleana (analogía, por cierto, ya hecha por Jhon Venn),
en donde 1 es el universo, 0 es el vacío, la conjunción es la intersección y la
disyunción incluyente es la unión. Luego “p” unido con el universo es igual al
universo (caso “a”), “p” intersectado
con el vacío es igual al vacío (caso “b”), “p” unido con el vacío es
igual a “p” (caso “c”) y “p” intersectado con el universo es igual a “p” (caso
“d”)
a) p Ú 1 º 1
b) p Ù 0 º 0
c) p Ú 0 º p
d) p Ù 1 º p
16. Ley de la idempotencia: Aquí en esta ley se demuestra que una proposición
unida (disyunción incluyente) o intersectada (conjunción) consigo misma es
igual así misma.
Se
esquematiza:
a) p Ù p º p
b) p Ú p º p
17. Ley de la exportación: En
esta ley, tenemos una proposición conjuntiva como antecedente, luego cualquiera
de las dos variables unidas conjuntivamente pueden exportarse para ser consecuente
de la otra.
Se esquematiza:
(p Ù q) ® r º p ® (q ® r)
18. Ley de la mutación: Esta Ley un esquema implicativo se puede “conmutar” los
antecedentes sin alterar la función de verdad de la proposición, la variable
que nunca debe “conmutarse” es el consecuente final de la fórmula.
Se
esquematiza:
p ® (q ® r) º q ® (p ® r)
19. Ley de la expansión: En esta ley una variable puede expandirse uniéndolo
conjuntivamente o disyuntivamente a uno de los casos de la ley del complemento,
manteniendo su equivalencia:
Se
esquematiza:
a) p º p Ù (q Ú -q)
b) p º p Ú (q Ù -q)
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